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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(6)解答解説}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
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配点各問25点です．
平均点は68点，最高点は100点(4人)でした．

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[1] 単調収束定理により，Lebesgue 積分として
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^n f(x)\;dx=\int_0^\infty f(x)\;dx$
です．左辺の積分は Riemann 積分と同じで，この極限が(有限値として)
存在すると仮定しているので，右辺も有限値となり，Lebesgue可積分となります．

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[2] $\displaystyle\int_0^1 |x-p_k|^{-1/2}\;dx\le
\int_{-1}^1 |x|^{-1/2}\;dx=4$
なので，単調収束定理より，
$$\int_0^1 \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k} |x-p_k|^{-1/2}\;dx
\le 4 \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}=4$$
となります．これは$[0,1]$上で
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k} |x-p_k|^{-1/2}<\infty$ a.e. 
を意味しています．

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[3] $\displaystyle
\frac{1}{t}\int_0^\infty (\sin tx -tx)f(x)\;dx=
\int_0^\infty\frac{\sin tx-tx}{tx} xf(x)\;dx$ であり，
$t,x>0$ のとき
$\displaystyle\left|\frac{\sin tx-tx}{tx}\right|\le2$
なので Lebesgue の収束定理が使えます．
$\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin tx-tx}{tx}=0$ なので
結論を得ます．

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[4] $k$, $p(x)$ を決めたとき，$M=\sup_x |p(x)(-ix)^k e^{-x^2/2}|$ 
とおくとこれは有限値です．被積分関数を $t$ で $k$回微分したもの
の絶対値は，$t$ によらず可積分関数 $M e^{-x^2/2}$ で抑えられるため，
積分記号下の微分が $k$ 回できます．$k$ は任意なので結論を得ます．

\end{document}