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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(5)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点[1] 15点$\times 2$, [2] 20点,[3] 20点,[4] 30点です.
平均点は65点,最高点は100点(4人)でした.

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[1] (1) $f$ は可積分なので $f(x)<\infty$ a.e. です.したがって,
$\infty$ に発散する任意の単調増大数列 $\{a_n\}$ に対し,
$f(x)\chi_{X_{a_n}^c}(x)$ は $n\to\infty$ の時単調増大で $f(x)$ に
ほとんどいたるところ収束します.よって単調収束定理によって,
$\displaystyle\int_{X_{a_n}^c} f\;d\mu$ は
$\displaystyle\int_X f\;d\mu$ に収束します.これは有限値なので,
$\displaystyle\int_{X_{a_n}} f\;d\mu$ は $0$ に収束することになり,
結論がわかります.

(2) (1)より,$\displaystyle\int_{X_c} f\;d\mu <\varepsilon/2$ と
なる $c>0$ を取ります.$\mu(E)< \varepsilon/(2c)$ のとき,
$$\int_E f\;d\mu\le\int_{X_c} f\;d\mu+
\int_{X_c^c\cap E}f\;d\mu<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$$
となります.

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[2] たとえば
$\chi_{(-\infty,0)}(x)$, $\chi_{[0,\infty)}(x)$ を交互に
並べたものを $\{f_k\}_k$ とすれば,(1)は成り立ち,また各点 $x$ で
$\displaystyle \liminf_{k\to\infty} f_k(x)=0$, 
$\displaystyle \limsup_{k\to\infty} f_k(x)=1$ なので,
(2) も成り立ち,また(3)の右辺は$0$です.(3)の左辺は$\infty$なので,
(3)の不等式も成り立っています. 

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[3] 一番簡単なのはたとえば,$f_1(x)=1$, 
$f_2(x)=f_3(x)=\cdots=0$ とすればできます.

もう少し複雑なものだと
たとえば $f_k(x)=\displaystyle\frac{2^k}{k}\chi_{(0,1/2^k)}(x)$ と
おけば,(1), (2), (3) は明らかに満たしています.
区間$(1/2^{k+1},1/2^k)$上では $\sup_k f_k(x)=f_k(x)$ であって,
$\displaystyle\int_{1/2^{k+1}}^{1/2^k} f_k(x)\;dx=\frac{1}{2k}$
であることより,(4)も成立します.

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[4] $f$ が可積分であれば Lebesgue の収束定理が使えて結論が出ます.
そうでないときは Fatou の補題より,
$$\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k \;d\mu\ge
\int_X f\;d\mu=\infty$$ となるので,問題の式は
$\infty=\infty$ で成立しています.

\end{document}