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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(1)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください.

このテストは,ノート持ち込み可で行います.
電子機器の使用は不可です.

途中の計算,説明などをきちんと書いてください.
答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください.

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[1] 講義で行った,関数からの ${\mathbb R}^n$ 上の
有限加法族 $\mathcal F$ と
有限加法的測度 $m$ の構成において,
$n=2$, $f_1(x)=f_2(x)=[x]$ とする.ここで $[x]$ は $x$ を超えない
最大の整数を表す.このとき ${\mathcal{F}}, m$ から講義の
ようにして作った ${\mathbb R}^2$ 上の外測度 $\Gamma$ はどのようなものか.
具体的に記述せよ.

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[2] ${\mathbb R}^2$ 上の Lebesgue 外測度 $\mu^*$ について考える.

(1) $\mu^*({\mathbb Q}\times{\mathbb R})$ を求めよ.

(2) $A=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1, 0\le y\le 1, x,y
\text{のいずれかは無理数}\}$ とおく.$\mu^*(A)$ を求めよ.

\bigskip
[3] ${\mathbb N} =\{1,2,3,\dots\}$ とおき,$\mathbb N$ の有限集合全体,
および補集合が有限集合であるような集合全体をあわせたものを $\mathcal F$
とおく.

(1) $\mathcal F$ は有限加法族であることを示せ.

(2) $A\in \mathcal F$ に対し,
$$m(A)=\left\{\begin{array}{ll}
\sum_{n\in A}\frac{1}{n(n+1)}, &\text{$A$が有限集合の時}\\
\infty, &\text{$A$が無限集合の時}
\end{array}\right.$$
とおく.この $m$ が $\mathcal F$ 上有限加法的測度であることを示せ.

(3) $m$ は $\mathcal F$ 上完全加法的であるか.

(4) 上の ${\mathcal F}, m$ から外測度 $\Gamma$ を構成する.
この $\Gamma$ がどのようなものか,具体的に記述せよ.

(5) 上の外測度 $\Gamma$ について,$\Gamma$-可測な集合を
決定せよ.

\end{document}