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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(1)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 講義で行った，関数からの ${\mathbb R}^n$ 上の
有限加法族 $\mathcal F$ と
有限加法的測度 $m$ の構成において，
$n=2$, $f_1(x)=f_2(x)=[x]$ とする．ここで $[x]$ は $x$ を超えない
最大の整数を表す．このとき ${\mathcal{F}}, m$ から講義の
ようにして作った ${\mathbb R}^2$ 上の外測度 $\Gamma$ はどのようなものか．
具体的に記述せよ．

\bigskip
[2] ${\mathbb R}^2$ 上の Lebesgue 外測度 $\mu^*$ について考える．

(1) $\mu^*({\mathbb Q}\times{\mathbb R})$ を求めよ．

(2) $A=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1, 0\le y\le 1, x,y
\text{のいずれかは無理数}\}$ とおく．$\mu^*(A)$ を求めよ．

\bigskip
[3] ${\mathbb N} =\{1,2,3,\dots\}$ とおき，$\mathbb N$ の有限集合全体，
および補集合が有限集合であるような集合全体をあわせたものを $\mathcal F$
とおく．

(1) $\mathcal F$ は有限加法族であることを示せ．

(2) $A\in \mathcal F$ に対し，
$$m(A)=\left\{\begin{array}{ll}
\sum_{n\in A}\frac{1}{n(n+1)}, &\text{$A$が有限集合の時}\\
\infty, &\text{$A$が無限集合の時}
\end{array}\right.$$
とおく．この $m$ が $\mathcal F$ 上有限加法的測度であることを示せ．

(3) $m$ は $\mathcal F$ 上完全加法的であるか．

(4) 上の ${\mathcal F}, m$ から外測度 $\Gamma$ を構成する．
この $\Gamma$ がどのようなものか，具体的に記述せよ．

(5) 上の外測度 $\Gamma$ について，$\Gamma$-可測な集合を
決定せよ．

\end{document}