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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(5)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] ${\mathbb N}=\{1,2,3,\dots\}$ のすべての部分集合の集合を
$\mathcal B$ とおく．$A\subset \mathbb N$ に対し，$A$ の元の個数を
$\mu(A)$ とおく．($A$ が無限集合の時は $\mu(A)=\infty$ とする．)
これによって $({\mathbb N},{\mathcal B},\mu)$ は測度空間となる．
また，$\mathbb N$ 上の複素数値可測関数 $f$ は複素数列
$\{f_k\}_{k=1,2,3,\dots}$ と同一視される．この時次の問いに答えよ．

(1) $f$ が可積分であるための必要十分条件は $\sum_{k=1}^\infty f_k$
が絶対収束することであることを示せ．

(2) $f$ が可積分の時，$\int_{\mathbb N}f\;d\mu=\sum_{k=1}^\infty f_k$
であることを示せ．

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[2]  $(X,{\mathcal B},\mu)$ を測度空間とし，$E\in\mathcal B$とする．
$f$ を $E$ 上 $[0,\infty)\cup\{\infty\}$ に値を持つ可測関数とする．
$\int_E f\;d\mu=0$ であれば $E$ 上 $f(x)=0$ a.e.であることを示せ．

\bigskip
[3] $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ は $\mathbb R$ 上 Lebesgue 可積分であるか．
理由をつけて答えよ．

\bigskip
[4] $[0,1]$ 上の Lebesgue 可測関数 $f_n$ ($n=1,2,3,\cdots$) で，
$[0,1]$ 上常に $0\le f_n(x)<\infty$ となるものが与えられたとする．
正の実数 $a_n$ ($n=1,2,3,\dots$) をうまく選べば，
$\sum_{n=1}^\infty a_n f_n(x)$ が $[0,1]$ 上ほとんどいたるところ
収束するようにできることを示せ．

\end{document}