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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(4)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
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配点は1問25点です．平均点は68.0点，最高点は100点(15人)でした．
解答は略解です．実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります．

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[1] (1) 単関数を $f(x)=\sum_{k=1}^m \alpha_k \chi_{E_k}(x)$ と
書いておくと $E(f>a)$ は $E_k$ の有限個の和である．よって
$f$ は可測関数である．

(2) 授業でやったことにより，$f_1+f_2$ は可測であり，帰納法により
$\sum_{k=1}^m f_k$ も可測である．この極限も可測なので結論を得る．

\bigskip
[2] 正の整数 $N$ について $E_N=\{x\in X\mid f(x)>N\}$ とおく．
これは単調減少で $\bigcap_{N=1}^\infty E_N=\varnothing$
である．$\mu(E_1)\le\mu(X)<\infty$ なので，
$\lim_{N\to\infty} \mu(E_N)=\mu(\lim_{N\to\infty}E_N)=0$
となる．よって十分大きい $N$ に対し，
$\mu(\{x\in X\mid f(x)>N\})<\varepsilon$ である．

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[3] $\mathbb R$ の開集合は $(p,q)$ ($p,q\in\mathbb Q$) の形の集合の可算和
である．よって $f^{-1}(U)$ は $f^{-1}((p,q))$ の形の集合の可算和であり，
Lebesgue 可測となる．

\bigskip
[4] $\ge$ は明らかである．

$\mu(E)<\infty$ のときは，授業でやった定理より，任意の 
$\varepsilon >0 $ に対しコンパクト集合 $F\subset E$ で，
$\mu(E\setminus F)<\varepsilon$ となるものがある．これより
$\le$ の不等号を得る．

$\mu(E)=\infty$ のときは，任意に与えられた $N>0$ に対し，
ある $k$ が取れて，
$N<\mu(E\cap\{x\in{\mathbb R}^n\mid |x|\le k\})<\infty$ となる．
このとき，コンパクト集合
$F\subset E\cap\{x\in{\mathbb R}^n\mid |x|\le k\}$ で，
$\mu(F)>N$ となるものが取れるので結論を得る．

\end{document}