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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(4)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] (1) 単関数は可測であることを示せ．

(2) $f_n:X\to [0,\infty)\cup\{\infty\}$ ($n=1,2,3,\dots$) を
可測関数とする．$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ も可測であることを示せ．

\bigskip
[2] $(X,{\mathcal B},\mu)$ を測度空間，$f:X\to\mathbb R$ を
可測関数，$\mu(X)=1$ とする．
任意の $\varepsilon>0$ に対し，$N>0$ が存在して
$\mu(\{x\in X\mid f(x)>N\})<\varepsilon$ となることを示せ．

\bigskip
[3] $f:\mathbb R\to\mathbb R$ を Lebesgue 可測関数とする．
$\mathbb R$内の任意の
開集合$U$に対し，$f^{-1}(U)$ は Lebesgue 可測集合である
ことを示せ．

\bigskip
[4] $E$ を ${\mathbb R}^n$ 内の Lebesgue 可測集合とする．
$$\mu(E)=\sup\{\mu(F)\mid F\subset E, F\hbox{はコンパクト集合}\}$$
を示せ．


\end{document}