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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(3)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
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配点は1問25点です．平均点は63.0点，最高点は100点(10人)でした．
解答は略解です．実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります．

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[1] $\mathbb R=(-\infty,0]\cup\bigcup_{n=1}^\infty(1/(n+1),1/n]
\cup (1,\infty)$ とおおうことができ，ここに出てくる区間はすべて
$m$ で測って$0$なので，$\Gamma(\mathbb R)=0$ を得る．したがって
任意の $A\subset\mathbb R$ に対して $\Gamma(A)=0$ である．

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[2] $[-n,n]$ はコンパクトなので，その $f$ による像は，コンパクト，
したがって閉である．$f(\mathbb R)=\bigcup_{n=1}^\infty f([-n,n])$ 
なので閉集合の可算和となり，Lebesgue 可測である．

\bigskip
[3] $f$ の連続性より，
$\{(x,f(x))\mid x\in\mathbb R\}$ は ${\mathbb R}^2$ は閉集合なので，
Lebesgue 可測である．整数 $n$ について $n\le x\le n+1$ で考えれば
$f$ は一様連続なので，任意の $\varepsilon >0$ に対し，
区間 $[n,n+1]$ を十分細かく等分することにより，
$\{(x,f(x))\mid n\le x\le n+1\}$ は長方形
の有限和で面積 $\varepsilon$となるものでおおわれる．よって
$\{(x,f(x))\mid n\le x\le n+1\}$ の Lebesgue 測度は $0$ であり，
可算和を取って，$\{(x,f(x)\mid x\in\mathbb R\}$  の
Lebesgue 測度も $0$ である．

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[4] (1) $A_r$ は開集合なので Lebesgue 可測である．

(2) $r\le f(r)\le 2r$ がすぐにわかる．また $f$ は(広義)単調増大かつ
連続であることも簡単にわかるので，取りうる値の範囲は
$(0,\infty)$ である．

\end{document}