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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(3)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 講義で行った ${\mathbb R}^n$ 上の有限加法族 $\mathcal F$ と
その上の有限加法的測度$m$の構成において，
$n=1$, $$f_1(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0&(x \le 0\hbox{の時}),\\
1&(\hbox{その他の時}).\end{array}\right.$$
とする．この $m$ から講義で行ったように $\mathbb R$ 上の
外測度 $\Gamma$ を構成したとき，$\Gamma$はどのようなものか．
具体的に記述せよ．

\bigskip
[2] $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$を連続関数とする．このとき
$f(\mathbb R)$はLebesgue可測集合であることを示せ．

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[3] $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$を連続関数とする．このとき，
$\mathbb R^2$の部分集合
$\{(x,y)\mid y=f(x)\}$ について，これがLebesgue可測集合である
ことを示し，そのLebesgue測度を求めよ．

\bigskip
[4] 有理数全体に番号をつけて，$p_1,p_2,\dots$ とする．
正の実数$r$に対し，集合$A_r$を
$$A_r=\bigcup_{n=1}^\infty (p_n-\frac{r}{2^n},p_n+\frac{r}{2^n})$$
とおく．

(1) $A_r$ は Lebesgue 可測であることを示せ．

(2) $A_r$ の Lebesgue 測度を $f(r)$と書く．$r$が正の実数全体を
動くとき，$f(r)$の取る値の範囲を求めよ．

\end{document}