\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(2)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 集合 $\{1,2,3,4\}$ の上の有限加法族はどのようなものがあるか．
全て挙げよ．

\bigskip
[2] 講義で行った ${\mathbb R}^n$ 上の有限加法族 $\mathcal F$ と
その上の有限加法的測度$m$の構成において，
$n=1$, $f_1(x)=[x]$ ($x$ を超えない最大の整数)とする．
講義で示した定理によってこの$m$は完全加法的であるが，このことを
直接確認せよ．

\bigskip
[3] 講義で行った ${\mathbb R}^n$ 上の有限加法族 $\mathcal F$ と
その上の有限加法的測度$m$の構成において，
$n=1$, $$f_1(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0&(x \le 0\hbox{の時}),\\
1&(\hbox{その他の時}).\end{array}\right.$$
とする．講義で示した定理によってこの$m$は完全加法的ではないが，
$E_n\in\mathcal F$, $\bigcup_{n=1}^\infty E_n\in\mathcal F$,
 $\bigcup_{n=1}^\infty E_n$ は disjoint union であって，
$\sum_{n=1}^\infty m(E_n)\neq m(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)$ となる
ものの例を挙げよ．

\bigskip
[4] $\mathbb R$ 上の任意の部分集合 $A$に対し，
$A$に含まれる有理数の個数を$\Gamma(A)$とおく．
(無限個の時は$\Gamma(A)=\infty$とおく．)
この$\Gamma$は$\mathbb R$上の外測度であることを示せ．

\bigskip
[5] $\mathbb R$ 上の外測度$\Gamma$であって，
$\Gamma(A)$の取りうる値の集合が $[1,\infty)\cup \{0,\infty\}$となる
ようなものの例を挙げよ．

\end{document}