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\begin{document}
\centerline{2015年解析学IV追試}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

\centerline{\bf 問題用紙は2枚あります．}

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解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙に収まるように書いてください．


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[1] 次のすべての条件を満たす，
$(0,\infty)$ 上の Lebesgue 可積分関数の列 $\{f_k(x)\}_k$ の例を挙げよ．

(1) $f_k(x)\ge 0$.

(2) $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_0^\infty
f_k(x)\;dx=0$.

(3) すべての $x\in(0,\infty)$ で
$\displaystyle\lim_{k\to\infty} f_k(x)=0$.

(4) すべての $k,x$ で $f_k(x)\le g(x)$ となる $(0,\infty)$ 上の
可積分関数 $g(x)$ は存在しない．

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[2] $f(t)$を$(0,1)$上の Lebesgue 可積分関数とする．
$z\in \mathbb C$の時，
$$F(z)=\int_0^1 f(t)e^{itz}\;dt$$
とおく．この右辺が可積分であり，$F(z)$が$\mathbb C$上正則となることを
示せ．

\bigskip
[3] 測度空間 $(X,\mu)$ 上の複素数値可積分関数 $f(x), g(x)$
を取る．$X$ の任意の可測部分集合 $E$ について
$\displaystyle\int_E f\;d\mu=\int_E g\;d\mu$ であれば，
ほとんどいたるところ $f(x)=g(x)$ であることを示せ．

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[4] 測度空間 $(X,\mu)$ 上の複素数値可測関数列 $\{f_k(x)\}_k$ と
複素数値可測関数 $f(x)$ について，任意の正数 $c$ に対して
$$\lim_{k\to\infty}\mu(\{x\mid |f_k(x)-f(x)|\ge c\})=0$$
が成り立つとする．このとき，関数列 $\{f_k(x)\}_k$ の適当な部分列で，
$f(x)$ に $X$ 上ほとんどいたるところ収束するものが存在する
ことを示せ．

\bigskip
[5] $(X,\mu)$, $(Y,\nu)$ をそれぞれ $\sigma$-有限な測度空間とする．
$f(x), g(y)$ をそれぞれ $X, Y$ 上の複素数値可積分関数とし，
$\mu,\nu$ の直積測度を $\sigma$ とする．
このとき $f(x)g(y)$ は $X\times Y$ 上可積分であって，
$$\int_{X\times Y}f(x)g(y)\;d\sigma=\int_X f(x)\;d\mu
\int_Y g(y)\;d\nu$$ であることを示せ．

\bigskip
[6] $1 < p < q < \infty$ とする．

(1) $\mathbb R$ 上の Lebesgue 可測関数 $f$ で，
$f\in L^p({\mathbb R})$, $f\notin L^q({\mathbb R})$ となるものの
例を挙げよ．

(2) $\mathbb R$ 上の Lebesgue 可測関数 $f$ で，
$f\notin L^p({\mathbb R})$, $f\in L^q({\mathbb R})$ となるものの
例を挙げよ．

\end{document}