\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
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\begin{document}
\centerline{2015年解析学IV期末テスト解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

期末試験は100点満点で，平均点は37点，最高点は100点(2人)でした．
得点分布は以下の通りです．

\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
$-40$--9 &10--19 & 20--29 & 30--39 & 40--49 & 50--59 & 60--69 & 70--79 
& 80--89 & 90--99 & 100 & 合計 \\ \hline
6(人) & 8 & 8 & 8 & 7  & 7 & 3  & 3 & 1 & 1 & 2 & 54 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

この得点と成績が赤字で書いてあります．成績は99点以上がA+, 51点以上がA, 
40点以上がB, 30点以上がCです．ただし演習の成績が特に良かった人は，これ
より良い成績がついています．Dは20人です．

演習の成績(悪い2回分を除いた平均)は，平均点は56点，最高点は100点
(1人)でした．得点分布は以下の通りです．

\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
0--9 &10--19 & 20--29 & 30--39 & 40--49 & 50--59 & 60--69 & 70--79 
& 80--89 & 90--99 & 100 & 合計 \\ \hline
2(人) & 4 & 2 & 7 & 7  & 10 & 5  & 8 & 4 & 6 & 1 & 56 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

こちらの成績が青字で書いてあります．成績は98点以上がA+, 75点以上がA, 
60点以上がB, 35点以上がCです．ただし期末試験の成績が特に良かった人は，
これより良い成績がついています．Dは11人です．

\underline{演習の単位だけを落として，その単位が欲しい人は
講義の方の追試を受けてください．}

\bigskip
[0] 解答は略．正解でも得点はなし．不正解の場合，一つにつき$-20$点．
ノート持込み可でこれが書けない人は論外です．

\bigskip
[1] (15点) 
$f(x)=x^4 e^{-x^2}$ とおくと，$f'(x)=2x^3(2-x^2)e^{-x^2}$ なので，
$f(x)$ は $x=\sqrt2$ で最大値$4e^{-2}$ をとる．これは$1$より小さいので，
$0\le x^{4k}e^{-kx^2}\le f(x)$である．また$f(x)$ は$[0,\infty)$で可積分で
あることは容易に分かるので，Lebesgue の収束定理が使えて，
$\displaystyle\lim_{k\to\infty}x^{4k}e^{-kx^2}=0$ であることより
答えは$0$である．

Lebesgueの収束定理を正しく使えていない人は即座に0点です．

\bigskip
[2] (1) (5点)
$\displaystyle \limsup_{k\to\infty}E_k=\bigcap_{k=1}^\infty 
\bigcup_{m=k}^\infty E_m$ であり，任意の $k$ について，
$\displaystyle \limsup_{k\to\infty}E_k\subset \bigcup_{m=k}^\infty E_m$
である．
$\displaystyle \mu(\bigcup_{m=k}^\infty E_m)\le
\sum_{m=k}^\infty \mu(E_m)\to 0$ であることから，
$\displaystyle \mu(\limsup_{k\to\infty}E_k)=0$ を得る．

(2) (10点) $E_k=\{x\in X\mid |f_k(x)|>\varepsilon_k\}$ とおく．
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \mu(E_k)<\infty$ なので
(1) より $\displaystyle \mu(\limsup_{k\to\infty}E_k)=0$ である．
$\displaystyle x\notin \limsup_{k\to\infty}E_k$ であれば，
ある $k$ が存在して，
$\displaystyle x\in \bigcap_{m=k}^\infty E_m^c$ となる．
すなわち，$m\ge k$ となるすべての $m$ について，
$|f_m(x)|\le \varepsilon_m$ である．このことは
$\displaystyle \lim_{m\to\infty} f_m(x)=0$ を意味する．
すなわち結論が得られた．

(2)でいきなり $\displaystyle \lim_{k\to\infty} f_k(x)$
と書いている人がかなりいましたが，これは存在するかどうか
わからないのでだめです．

\bigskip
[3] (20点) $A_k=\{x\mid |x|\le k, f(x) \le k\}$
とおく．$A_k$ は単調増大で，和は $\mathbb R$ である．
各 $k$ と $m\ge k$ となる $m$ に対し，
$\displaystyle \int_{\mathbb R} f(x)\chi_{A_k^c}(x)\;d\mu=\infty$,
$\displaystyle \int_{\mathbb R} f(x)\chi_{A_k^c\cap A_m}(x)\;d\mu
<\infty$, $\displaystyle \lim_{m\to\infty}
\int_{\mathbb R} f(x)\chi_{A_k^c\cap A_m}(x)\;d\mu=\infty$ である
ことより，$m_k\ge k$ を
$\displaystyle k\le \int_{\mathbb R} f(x)\chi_{A_k^c\cap A_{m_k}}(x)
\;d\mu$ となるように取る．
$f_k(x)=f(x)\chi_{A_k^c\cap A_{m_k}}(x)$ とおけば，4条件すべてが
満たされる．

\bigskip
[4] (15点) 
$m$ を十分大きくとれば，$\mu(E\cap\{|x|\ge m\})<\delta$ である．
$E\cap\{|x|< m\}$ は十分小さい直方体に分割することにより，
測度 $\delta$ 未満の可測集合の有限個の和で覆える．したがって，
$\displaystyle E=\bigcup_{j=1}^l E_j$, $\mu(E_j)<\delta$ という
表示が可能である．このとき，すべての $k$ について
$\displaystyle \int_E |f_k(x)|\;d\mu\le l\varepsilon $である．
よって，Fatou の補題により，
$$\int_E |f(x)|\;d\mu\le\liminf_{k\to\infty}\int_E |f_k(x)|\;d\mu
\le l\varepsilon$$ を得るので，$f$ は可積分である．

\bigskip
[5] (1) (5点) H\"older の不等式よりただちに従う．

(2) (5点) 
$$f*g(x+h)-f*g(x)=\int_{{\mathbb R}^n} (f(x+h-y)-f(x-y))g(y)\;dy$$
に H\"older の不等式を用いて，この値の絶対値は
$$\left(\int_{{\mathbb R}^n}|f(h-y)-f(-y)|^p\;dx\right)^{1/p}
\|g\|_q$$ で上から抑えられる．授業でやったことから，$h\to0$ のとき
この第1項は$0$に収束するので連続性を得る．

(3) (5点) $\varepsilon>0$ に対し，
$f_0,g_0\in C_0({\mathbb R}^n)$ で，
$\|f_0-f\|_p<\varepsilon$, $\|g_0-g\|_q<\varepsilon$ となるものを
取る． H\"older の不等式より，
$$|f*g(x)|\le |f_0*g_0(x)|+\|g\|_q\varepsilon+\|f_0\|_p\varepsilon
\le |f_0*g_0(x)|+\|g\|_q\varepsilon+\|f\|_p\varepsilon+\varepsilon^2$$
となる．$\displaystyle\lim_{|x|\to\infty} f_0*g_0(x)=0$ は
容易に分かるので，結論を得る．

\bigskip
[6] (1) (10点) $A=\{x\mid f(x)\le0\}$ とおく．
$\displaystyle0\le \nu(A)=\int_A f(x)\;d\mu\le0$ より，$\nu(A)=0$ であり，
絶対連続性を用いて
$\mu(A)=0$ である．すなわち $\mu$ について，$f(x)>0$ a.e. である．

(2) (10点) 任意の $E\in\mathcal B$ に対して，
$$\mu(E)=\int_E \frac{1}{f(x)}f(x)\;d\mu=\int_E \frac{1}{f(x)}\;d\nu$$
である．(右の等号は7/6の演習で示した結果による．)
このことより，求めるRadon-Nikodym 密度関数は $1/f(x)$ である．
($f(x)=0$ となる点の集合は $\mu$ についても $\nu$ についても
測度$0$なのでそのような点は無視してよい．)

\end{document}