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\begin{document}
\centerline{2015年解析学IV期末テスト}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
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\centerline{\bf 問題用紙は2枚あります.}

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解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください.

このテストは,ノート持ち込み可で行います.
電子機器の使用は不可です.

途中の計算,説明などをきちんと書いてください.
答案用紙に収まるように書いてください.

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[0] 次の各定理のステートメントを書け.

(1) 単調収束定理

(2) Fatou の補題

(3) Lebesgue の収束定理

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[1] $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_0^\infty x^{4k}e^{-kx^2}\;dx$ を
求めよ.

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[2] 測度空間 $(X, {\mathcal B}, \mu)$ において考える.

(1) $E_k\in\mathcal B$ ($k=1,2,3,\dots$) に対して
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \mu(E_k)<\infty$ であれば,
$\displaystyle\mu(\limsup_{k\to\infty}E_k)=0$ であることを示せ.

(2) $f_k$ ($k=1,2,3,\dots$)を $X$ 上の複素数値可測関数で,
正の数の数列 $\{\delta_k\}_k$, $\{\varepsilon_k\}_k$ について
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \delta_k<\infty$, 
$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\varepsilon_k=0$ が成り立っているとする.
$\mu(\{x\in X\mid |f_k(x)|>\varepsilon_k\})<\delta_k$ であれば
ほとんどいたるところ $\displaystyle\lim_{k\to\infty} f_k(x)=0$ 
となることを示せ.

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[3] $\mathbb R$ 上で Lebesgue 測度を考え,$\mathbb R$ 上の実数値
可測関数 $f$ を取る.ほとんどいたるところ
$0\le f(x) < \infty$ であり,
$\displaystyle\int_{\mathbb R} f\;d\mu=\infty$ であるとする.
次の4条件を 満たす $X$ 上の可測関数列 $\{f_k\}_{k=1,2,3,\dots}$ 
が存在することを示せ.

(a) すべての $k$ について,ほとんどいたるところ 
$0 \le f_k(x) \le f(x)$ である.

(b) ほとんどいたるところ $\displaystyle\lim_{k\to\infty} f_k(x)=0$ となる.

(c) $\displaystyle\lim_{k\to\infty} \int_{\mathbb R} 
f_k\;d\mu=\infty$ である.

(d) すべての $k$ について $\displaystyle\int_{\mathbb R} 
f_k\;d\mu < \infty$ である.

\bigskip
{\bf (第二面に続く)}
\vfill\eject

\bigskip
[4] $E$ を ${\mathbb R}^n$ の Lebesgue 可測集合,Lebesgue 測度を
$\mu$ とし,$\mu(E)<\infty$ とする.$E$ 上の複素数値 Lebesgue 可測
関数列 $\{f_k(x)\}_k$ を考え,以下の条件が成り立っているとする.

『任意の $\varepsilon >0$ に対し,$\delta>0$ が存在して,
任意の Lebesgue 可測集合 $A\subset E$ が $\mu(A)<\delta$ を
満たすならば,すべての $k$ について
$\displaystyle\int_A|f_k|\;d\mu<\varepsilon$ が成り立つ.』

ここでさらに $\displaystyle\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)$ が
ほとんどいたるところ成り立っているとすると,$f$ は $E$ 上
可積分であることを示せ.

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[5] $1 < p < \infty$, $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ とし,
$f\in L^p({\mathbb R}^n)$, $g\in L^q({\mathbb R}^n)$ とする.

(1) $f*g(x)$ はすべての $x\in{\mathbb R}^n$ について定義されることを示せ.

(2) $f*g(x)$ は連続関数であることを示せ.

(3) $\displaystyle\lim_{|x|\to\infty} f*g(x)=0$ であることを示せ.

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[6] $(X, {\mathcal B})$ 上の二つの測度 $\mu,\nu$ を考える.
$\mu(X)<\infty$, $\nu(X)<\infty$ とし,$\mu$ は $\nu$ について
絶対連続,$\nu$ は $\mu$ について絶対連続であるとする.
$\nu$ の $\mu$ についての Radon-Nikodym 密度関数を $f$ とする.

(1) $\mu$ についてほとんどいたるところ $f(x)> 0$ であることを示せ.

(2) $\mu$ の $\nu$ についての Radon-Nikodym 密度関数を求めよ.

\end{document}