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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(12)解答解説}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
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配点は1問25点です.平均点は65点,最高点は100点(9人)でした.
解答は略解です.実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります.

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[1] $g$ として授業で使った $h_\varepsilon$ を取れば
$f*h_\varepsilon=h_\varepsilon$ となります.$\varepsilon\to0+$
とすれば左辺は $f$ に $L^1$収束することが示せ,右辺は収束しないので
矛盾します.(左辺の $L^1$収束は,$C_0({\mathbb R})$ が
$L^1({\mathbb R})$ で稠密なことを使えばできます.)

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[2] (1) $\displaystyle\int_E h\;d\mu=\nu(E)\ge0$ であることから
従います.

(2) $f$ を単関数で下から近似することによってできます.

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[3] $E_k$ を $\mu(E_k)=0$, $\mu_k(E_k^c)=0$ であるように取ります.
$E=\displaystyle\bigcup_{k=1}^\infty E_k$ とおけば,
$\mu(E)=0$ であって,$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\mu_k(E^c)=0$ 
なので結論が出ます.

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[4] (1) $f$ として $\chi_E$ を取れば,$\mu(E)=0$ のとき,
任意の $k$ について $\mu(E_k)=0$ となることがわかります.

(2) $f$ として $\chi_E$ を取れば,
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\int_E h_k\;d\mu=
\mu(E)$ がわかります.[2] (1) より各 $h_k$ は0以上の値を取るので
単調収束定理により,上式の左辺は
$\displaystyle\int_E \sum_{k=1}^\infty h_k\;d\mu$ となります.
任意の $E$ についてこれが $\displaystyle\int_E \;d\mu$ に等しい
ことから結論が出ます.

\end{document}