\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(12)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] $f\in L^1({\mathbb R})$ で，すべての $g\in L^1({\mathbb R})$
に対して $f*g=g$ となるものは存在しないことを示せ．

\bigskip
[2] $\mu,\nu$ を $(X,{\mathcal B})$ 上の測度とし，$\mu(X)<\infty$,
$\nu(X)<\infty$ であって，$\nu$ は $\mu$ について絶対連続であるとする．
このとき，$\nu$ の $\mu$ についての Radon-Nikodym 密度関数を $h(x)$ とする．

(1) $\mu$ についてほとんどいたるところ $h(x)\ge0 $ であることを示せ．

(2) $X$ 上の $[0,\infty)$ に値を持つ可測関数 $f(x)$ と $E\in{\mathcal B}$
について，$\displaystyle \int_E f\;d\nu=\int_E fh\;d\mu$ であることを示せ．

\bigskip
[3] $\mu,\mu_1,\mu_2,\dots$ を $(X,{\mathcal B})$ 上の測度とし，
$\mu(X)<\infty$ かつ $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \mu_k(X)<\infty$
であるとする．すべての $\mu_k$ が $\mu$ について特異である時，
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \mu_k$ も $\mu$ について特異である
ことを示せ．ただし $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \mu_k$  とは
$E\in{\mathcal B}$ に対して $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \mu_k(E)$ 
を対応させる測度である．

\bigskip
[4] $\mu,\mu_1,\mu_2,\dots$ を $(X,{\mathcal B})$ 上の測度とし，
$\mu(X)<\infty$ かつすべての $k$ について
$\mu_k(X)<\infty$ であるとする．
$X$ 上の $[0,\infty)$ に値を持つ任意の可測関数 $f(x)$ について，
$$\sum_{k=1}^\infty \int_X f\;d\mu_k=\int_X f\;d\mu$$
が成り立つとする．

(1) 各 $\mu_k$ は $\mu$ について絶対連続であることを示せ．

(2) $\mu_k$ の $\mu$ についての Radon-Nikodym 密度関数を $h_k(x)$ とする．
$\mu$ についてほとんどいたるところ 
$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty h_k(x)=1$ であることを示せ．

\end{document}