\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(11)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は1問25点です．平均点は49点，最高点は100点(1人)でした．
解答は略解です．実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります．

\bigskip
[1] $f$ が有界なので，連続性は授業でやったのと同じようにできます．
残りは $f,g\in C_0({\mathbb R})$ の時は明らかです．$C_0({\mathbb R})$
は，$\|\hphantom{f}\|_\infty$ について $C_\infty({\mathbb R})$ で
稠密なことがわかり，
$\|\hphantom{f}\|_1$ について $L^1({\mathbb R})$ で稠密なので
結論が出ます．

\bigskip
[2] 授業でやった，$f$ が可積分な場合の証明と同様にできます．

\bigskip
[3] (1) $A=\{x\mid f(x)\ge0\}$ とおいて，
$E\mapsto \displaystyle \int_{A\cap E}f\;d\mu$ と
$E\mapsto \displaystyle \int_{A^c\cap E}f\;d\mu$ に
分かれます．

(2) $A=\{x\mid f(x)\ge0\}$ と $A^c$ に分かれます．

\bigskip
[4] 上限が $\displaystyle\int_X|f(x)|\;d\mu$ で上から
抑えられることは明らかです．
$f$ を実部と虚部に分け，それぞれを正負に分け，さらに
それぞれを単関数で近似することにより，
$\displaystyle\int_X|f(x)|\;d\mu$ にいくらでも近づける
ことができます．

\end{document}