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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(11)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $$C_\infty({\mathbb R})=\{f\mid {\mathbb R}
\hbox{上の複素数値連続関数で}\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0\}$$
とおく．$f\in C_\infty({\mathbb R})$, $g\in L^1({\mathbb R})$ の
とき，$f*g\in C_\infty({\mathbb R})$ であることを示せ．

\bigskip
[2] $f(x)$ を $\mathbb R$ 上の Lebesgue 可測関数で，すべての
有界区間上で可積分となるものとする．すべての $g\in C_0({\mathbb R})$
に対して $\displaystyle \int_{\mathbb R}fg\;dx=0$ であれば，
$f(x)=0$ a.e. であることを示せ．

\bigskip
[3] $(X,{\mathcal B},\mu)$ 上の実数値可積分関数 $f$ を取り，
$E\in{\mathcal B}$ に対し，$\Phi(E)=\displaystyle \int_E f\;d\mu$ 
とおくとこれは加法的集合関数である．

(1) この $\Phi$ の Jordan 分解を具体的に記述せよ．

(2) この $\Phi$ の Hahn 分解を具体的に記述せよ．

\bigskip
[4] $(X,{\mathcal B},\mu)$ 上の複素数値可積分関数 $f$ を取り，
$E\in{\mathcal B}$ に対し，$\Phi(E)=\displaystyle \int_E f\;d\mu$ 
とおく．$X$ を $X=\displaystyle\bigcup_{k=1}^m E_k$ (disjoint union,
$E_k\in{\mathcal B}$) と表したととき，このようなすべての表示について
$\displaystyle\sum_{k=1}^m|\Phi(E_k)|$ の上限を取ると，
$\displaystyle\int_X|f(x)|\;d\mu$ に等しいことを示せ．

\end{document}