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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(10)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は1問25点です．平均点は37点，最高点は100点(2人)でした．
解答は略解です．実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります．

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[1] H\"older の不等式の等号成立条件を調べればいいので，
答えは $\|f\|_p$ です．

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[2] たとえば
$$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
-\log x,&(0< x < 1 \hbox{の時}),\\
0,&(\hbox{その他の時}),\end{array}\right.$$
とおけばO.K.です．

\bigskip
[3] (1) Cauchy-Schwarz の不等式より
$\displaystyle\int_{\mathbb R} |f(x-y)g(y)|\;dy\le \|f\|_2\|g\|_2$ 
となるので可積分です．

(2) $x$ を固定して $h\to0$ としたとき，
$f(x+h-y)$ は $y$の関数として$f(x-y)$ に $L^2$-ノルムで収束するので
Cauchy-Schwarz の不等式より連続性が出ます．

(3) $f,g$ を $C_0({\mathbb R})$ の元で，$L^2$-ノルムについて近似すれば
できます．

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[4] たとえば
$$h(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
1/\sqrt{|x|},&(0<|x|<1 \hbox{の時}),\\
0,&(\hbox{その他の時}),\end{array}\right.$$
とおきます．有理数全体に番号をつけて，$p_0=0,p_1,p_2,\dots$
とし，$f(x)=g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}
h(x-p_k)$ とおきます．これらは $L^1({\mathbb R})$ の元です．
$f(p_m-x)g(x)\ge\displaystyle\frac{1}{2^m}h(x)^2$ なので
これは $x$ の関数として可積分ではありません．
$\{p_m\}$ は稠密なのでこれで求めるものが得られました．

\end{document}