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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(9)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] ${\mathbb R}^n$ の Borel 完全加法族と
 ${\mathbb R}^m$ の Borel 完全加法族の直積完全加法族は
 ${\mathbb R}^{n+m}$ の Borel 完全加法族に等しいことを示せ．

\bigskip
[2] (1) $f\in L^1({\mathbb R})$ かつ $f\notin L^2({\mathbb R})$,
となる $f$ の例を挙げよ．

(2) $f\notin L^1({\mathbb R})$ かつ $f\in L^2({\mathbb R})$,
となる $f$ の例を挙げよ．

\bigskip
[3] $f\in L^1({\mathbb R})$ を取る．
$t_1>t_2>\cdots>0$, $\displaystyle \lim_{k\to\infty} t_k=0$
となる数列 $\{t_k\}_k$ をうまくとれば，$f_k(x)=f(x-t_k)$ と
おいたとき，$\{f_k(x)\}_k$ がほとんどいたるところ $f(x)$ に
収束することを示せ．
 

\bigskip
[4] $f_1,f_2,f_3,\dots\in L^1({\mathbb R})\cap L^2({\mathbb R})$
とし，$f\in L^1({\mathbb R})$, $g\in L^2({\mathbb R})$ に対し，
$$\lim_{k\to\infty}\|f_k-f\|_1=
\lim_{k\to\infty}\|f_k-g\|_2=0$$
であるとき，ほとんどいたるところ $f(x)=g(x)$ となることを示せ．
\end{document}