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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(8)解答解説}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
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配点は1問25点です.平均点は58点,最高点は100点(7人)でした.
解答は略解です.実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります.

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[1] (1) 積分記号下での微分を行ったあと,部分積分をして,
$I'(\alpha)=-\alpha I(\alpha)/2$ です.

(2) (1) の微分方程式と,$I(0)=\sqrt\pi/2$ より,
$I(\alpha)=\sqrt\pi e^{-\alpha^2/4}/2$ です.

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[2] (1) Fatou の補題よりただちに出ます.

(2) 例はたくさんありますが,$X=[0,1]$ として,$f_n(x)=n\chi_{[0,1/n]}(x)$ 
とおけばできます.

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[3] (1) 前にやったように,Lebesgue の収束定理ですぐにできます.

(2) (1) を $|f|$ に対して適用し,
$C$ を,$\displaystyle\int_{\{|f(x)|>C\}} |f|\;d\mu<\varepsilon/2$ 
となるようにとります.$\delta=\varepsilon/(2C)$ とおくと,
$|f|$ の $B$ 上の
積分を $|f|>C$ の部分と $|f|\le C$ の部分に分けることができ,
いずれも $\varepsilon/2$ で抑えられるので合計は $\varepsilon$ で
抑えられます.

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[4] 左辺は
$\displaystyle\int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R}\chi_A(t-x)\chi_B(t)\;dt\;dx$
に等しいので Fubini の定理を使って積分順序を入れ替えれば,結論が出ます.

\end{document}