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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(8)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 実数 $\alpha$ に対し
$\displaystyle I(\alpha)=\int_0^\infty e^{-x^2}\cos \alpha x\;dx$
とおく．

(1) $I'(\alpha)$ と $I(\alpha)$ の関係を求めよ．

(2) $I(\alpha)$ を求めよ．

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[2] $(X,{\mathcal B},\mu)$ を測度空間とする．
$X$ 上の実数値可測関数列 $\{f_n(x)\}_n$ について，
$X$ の各点で $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$
であるとする．また，定数 $C$ で，各 $n$ について，
$\displaystyle\int_X |f_n(x)|\;d\mu\le C$なる
ものが存在するとする．このとき，次の問に答えよ．

(1) $f(x)$ が可積分で，
$\displaystyle\int_X |f(x)|\;d\mu\le C$ を満たすことを示せ．

(2) 上の条件を満たしているが，
$\displaystyle
\lim_{n\to\infty}\int_X f_n(x)\;d\mu=\int_X f(x)\;d\mu$
が成立しないような例を挙げよ.

\bigskip
[3] $f$ を測度空間 $(X,{\mathcal B},\mu)$ 上の可積分関数とする．

(1) $\displaystyle\lim_{c\to\infty}\int_{\{|f(x)|>c\}} f\;d\mu=0$ 
を示せ．

(2) 任意の $\varepsilon >0$ に対し，次の条件を満たす $\delta>0$
が存在することを示せ．

$B\in{\mathcal B}$, $\mu(B)<\delta$ ならば
$\displaystyle\left|\int_Bf\;d\mu\right|<\varepsilon$ となる．

\bigskip
[4] $A, B$ を $\mathbb R$ の Lebesgue 可測部分集合とする．
$$\int_{\mathbb R} \mu((A+x)\cap B)\;dx =
\mu(A)\mu(B)$$ であることを示せ．
ただしここで，$\mu$ は Lebesgue 測度であり
$A+x=\{ y+x \mid y\in A\}$ である．

\end{document}