\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(7)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は1問25点です．平均点は58.0点，最高点は100点(5人)でした．
解答は略解です．実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります．

\bigskip
[1] $x^n e^{-x^4}$ が $t$ によらない可積分関数であることから，
積分記号下での微分が何回でもできます．

\bigskip
[2] 積分を
$\displaystyle\int_{\mathbb R} f(x)g(x-t)\;dx$ と書きかえれば，
$t$ による積分記号下の微分が何回でもできるようになります．

\bigskip
[3] $\chi_E$ は $\mathbb R$ 上の可積分関数なので，
授業でやった結果より，
$$ \lim_{t\to0}
\int_{\mathbb R} |\chi_E(x-t)-\chi_E(x)|\;dx=0$$
です．被積分関数の絶対値の中の取る値は $0,\pm1$ なので，この絶対値は
$$(\chi_E(x-t)-\chi_E(x))^2=\chi_E(x-t)+\chi_E(x)-2\chi_{E\cap (E+t)}(x)$$
に等しく，これを積分して，
$\displaystyle\lim_{t\to0}\mu(E\cap (E+t))=\mu(E)$ を得ます．

\bigskip
[4] ${\mathcal B}=\{\varnothing, X\}$, $\mu(X)=\mu(\varnothing)=0$ と
おけばこれは完全加法族とその上の測度です．これは完備ではなく，この
完備化は，$X$ のすべての部分集合の族を $\bar{\mathcal B}$ としたもので，
その上ですべての $A\subset X$ に対し，$\bar\mu(A)=0$ です．

\end{document}