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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(7)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 実数 $t$ の関数 $f(t)=\displaystyle
\int_{\mathbb R} e^{-x^4}e^{-ixt}\;dx$ が
$C^\infty$-級関数であることを示せ．

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[2] $f(x)$ を $\mathbb R$ 上の複素数値 Lebesgue 可積分関数とし，
$g(x)$ を $\mathbb R$ 上のコンパクト台を持つ複素数値$C^\infty$-級関数
とする．$\displaystyle\int_{\mathbb R} f(x+t)g(x)\;dx$ 
は $t\in\mathbb R$ の $C^\infty$-級関数であることを示せ．

\bigskip
[3] $E\subset \mathbb R$ を Lebesgue 可測集合で，$\mu(E)<\infty$ とする．
$\lim_{t\to 0}\mu(E\cap(E+t))=\mu(E)$ であることを示せ．
ただし $E+t=\{x+t\mid x\in E\}$ である．

\bigskip
[4] $X=\{1,2,3,\dots\}$ の上の適当な完全加法族 $\mathcal B$
の上の完備でない測度と，その完備化の例を挙げよ．

\end{document}