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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(6)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は1問25点です.平均点は62.0点,最高点は100点(5人)でした.
解答は略解です.実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります.

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[1] 例はたくさんありますが例えば次のようにします.

$X=(0,\infty)$とおき,Lebesgue 可測集合,Lebesgue 測度を
考えます.
$g_k(x)=\chi_{(k,k+1]}(x)$,
$h_k(x)=\chi_{(k,k+2]}(x)$ とおき,
$$g_1,h_1,g_1,g_2,h_1,h_2, g_1,g_2,g_3,h_1,h_2,h_3,g_1,g_2,g_3,g_4,\dots$$
と並べたものを $f_k$ とすればできます.


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[2] 授業でやった通り,単調収束定理,または Lebesgue の収束定理から
すぐでます.

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[3] 任意の $ \varepsilon>0$ に対し,
コンパクト台の複素数値連続関数 $g$ で,
$\displaystyle\int_{\mathbb R}|f(x)-g(x)|\;dx<\varepsilon$
となるものが取れます.
$$\left|\int_{\mathbb R} f(x)\chi_E(x+t)\;dx\right|\le
\left|\int_{\mathbb R} g(x)\chi_E(x+t)\;dx\right|+\varepsilon$$
であり,また 
$$\int_{\mathbb R} g(x)\chi_E(x+t)\;dx=
\int_{\mathbb R} g(x-t)\chi_E(x)\;dx$$
については,$|g(x-t)\chi_E(x)|\le(\sup_x |g(x)|)\chi_E(x)$ で
$\displaystyle\lim_{t\to\infty} g(x-t)\chi_E(x)=0$ と
$(\sup_x |g(x)|)\chi_E(x)$ が可積分であることより Lebesgue の
収束定理が使えて,$\displaystyle \lim_{t\to\infty}
\int_{\mathbb R} g(x)\chi_E(x+t)\;dx=0$ となります.
これより,
$\displaystyle \limsup_{t\to\infty}\left|
\int_{\mathbb R} f(x)\chi_E(x+t)\;dx\right|\le\varepsilon$
となり,結論が出ます.

いきなり Lebesgue の収束定理を使うことはできません.

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[4] $g_k(x)=f(x)/k$ とおけばすぐです.

\end{document}