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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(6)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 次のすべての条件を満たす測度空間 $(X, {\mathcal B},\mu)$ と
その上の可測関数列 $\{f_k\}_{k=1,2,3,\dots}$ の例を挙げよ．

(1) すべての $x\in X$ について $0\le f_k(x)< \infty$.

(2) どの $x\in X$ についても $\displaystyle\lim_{k\to\infty}f_k(x)$ 
は無限大を含めても存在しない．

(3) $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_X f_k\;d\mu$ は無限大を含めても
存在しない．

(4) $\displaystyle\int_X\liminf_{k\to\infty} f_k(x)\;d\mu < 
\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k(x)\;d\mu$.

\bigskip
[2] $f$ を $\mathbb R$ 上の複素数値 Lebesgue 可積分関数とする．
任意の $\varepsilon >0$ に対し $N>0$ が存在して，
$\left|\displaystyle\int_{\{|x|>N\}} f(x)\;dx\right|<\varepsilon$ となる
ことを示せ．

\bigskip
[3] $f$ を $\mathbb R$ 上の複素数値 Lebesgue 可積分関数，
$E$ を $\mathbb R$ の Lebesgue 可測集合で $\mu(E)<\infty$ とする．
$\displaystyle\lim_{t\to\infty}\int_{\mathbb R} f(x)\chi_E(x+t)\;dx=0$
であることを示せ．

[最初 $\mu(E)<\infty$ の条件が抜けていました．すみません．]

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[4] $g(x)$ を測度空間 $(X, {\mathcal B},\mu)$ 上の可測関数で，
$[0,\infty)$ に値を持ち，$\displaystyle\int_X g\;d\mu=\infty$ となるものと
する．この時以下のすべての条件を満たす $X$ 上の可測関数の列
$\{f_k\}_{k=1,2,3,\dots}$ が存在することを示せ．

(1) すべての $x\in X$ について $0\le f_k(x)\le g(x)$.

(2) すべての $x\in X$ について $\displaystyle\lim_{k\to\infty}f_k(x)=0$.

(3) すべての $k$ について $\displaystyle\int_X f_k\;d\mu=\infty$.


\end{document}