\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(5)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は1問25点です．平均点は58.0点，最高点は100点(5人)でした．
解答は略解です．実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります．

\bigskip
[1] (1) (2) 定義通り確認すればできます．

\bigskip
[2] すべての整数 $n\ge 1$ に対し，$\mu(E(f>1/n))=0$ であることが
わかります．$n$ について和を取って $\mu(E(f>0))=0$ がわかります．

\bigskip
[3] Lebesgue 可積分ではありません．$\sum_{k=1}^\infty 1/k=\infty$ 
に帰着します．

\bigskip
[4] $\lim_{k\to\infty} \mu(\{x\in[0,1]|f_n(x)>k\})=0$ なので，
$C_k>0$ を，$E_k=\{x\in[0,1]|f_n(x)>C_k\}$, 
$\mu(E_k)<1/2^k$ となるようにとります．
$a_k=1/(2^k C_k)$ とおけば，$[0,1]\setminus\bigcup_{k=m}^\infty E_k$
上で $\sum_{k=1}^\infty a_k f_k(x)$ は収束します．
$\mu(\bigcup_{k=m}^\infty E_k)<2/2^m$ で $m$ はいくらでも大きく取れるので，
$\sum_{k=1}^\infty a_k f_k(x)$ はほとんどいたるところ収束します．

\end{document}