\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(1)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] Cauchy の積分定理のステートメントを書け．
(少しずつ違うさまざまなバージョンがあるがどれでもよい．)

\bigskip
[2] (1) 位相空間が Hausdorff であることの定義を書け．

(2) 位相空間の部分集合 $K$ がコンパクであることの定義を書け．

(3) Hausdorff 空間のコンパクト集合は閉であることを示せ．

(4) 上の(3)で Hausdorff 性を落とすと結論が成り立たない例を挙げよ．

\bigskip
[3] $[0,1]$ 上の関数列 $\{f_n\}_n$ で以下の条件をすべて満たすものの例
を挙げよ．

(1) 各 $f_n$ は実数値連続関数である．

(2) すべての $x\in[0,1]$, $n$ について $0\le f_n(x)$ である．

(3) すべての $x\in[0,1]$ について，
$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$ である．

(4) $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\;dx=\infty$ である．

\bigskip
[4] $\mathbb R$ 上の連続関数 $f(x)$ で次の条件
すべてを満たすものの例を挙げよ．

(1) すべての $x\in \mathbb R$ について $0\le f(x)$ である．

(2) $\int_{-\infty}^\infty f(x)\;dx=\infty$.

(3) $\int_{-\infty}^\infty f(x)^2\;dx<\infty$.

\bigskip
[5] $(0,\infty)$ 上の連続関数 $f(x)$ で次の条件
すべてを満たすものの例を挙げよ．

(1) すべての $x\in (0,\infty)$ について $0\le f(x)$ である．

(2) $\int_0^\infty f(x)\;dx<\infty$.

(3) $\int_0^\infty f(x)^2\;dx=\infty$.

\end{document}