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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{2000年度3年生解析学IV期末テスト}
\rightline{河東泰之}
\rightline{2000年9月5日}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は解答用紙に書いてください．
この試験はノート持ち込み可で行います．試験時間は13:00〜16:00です．

\bigskip [1]
次の4条件すべてを満たす，$[0,1]$上の関数列$\{f_n(x)\}_n$の
例をあげよ．根拠をきちんと説明すること．

(1) 各$f_n(x)$は$[0,1]$上連続で，$f_n(x)\ge 0$を満たす．

(2) すべての$p\in [1,\infty)$に対して，$n\to\infty$のとき
$\|f_n\|_p\to 0$である．

(3) すべての$x\in[0,1]$に対し，$n\to\infty$のとき
$f_n(x)\to 0$である．

(4) $n\to\infty$のとき，$\dsize\sup_{0\le x\le 1} f_n(x)
\to\infty$である．

\bigskip [2]
$t > 0$に対し，
$$F(t)=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}\;dx$$
とおく．

(1) $F'(t)$を求めよ．

(2) $F(t)$を求めよ．

\bigskip [3]
$(X, {\Cal B}, \mu)$は測度空間で，$\mu(X)=1$を満たすものとする．
$f(x), g(x)$は$X$上の正値可測関数で，ほとんどいたるところ
$f(x)g(x)\ge 1$を満たすとする．このとき
$\dsize\int_X f(x)\;d\mu \int_X g(x)\;d\mu \ge 1$であることを
示せ．

\bigskip [4]
$\{f_n(x)\}_{n=1,2,3,\dots}$を$\R$上の実数値Lebesgue可測関数
の列とする．どの$a_n$も0ではないような実数列$\{a_n\}_n$で，
無限級数$\dsize\sum_{n=1}^\infty a_n f_n(x)$が$\R$上ほとんどいたるところ
絶対収束するようなものが存在することを示せ．

\bigskip [5]
$(X, {\Cal B}, \mu)$を$\sigma$-finiteな測度空間とする．
この時，$L^1(X)=L^2(X)$となるための必要十分条件を求めよ．
ただし条件はなるべく簡明な形で求めること．論理的に正しくても，
不必要に複雑な条件の場合は減点することがある．

\bye