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\define\e{\varepsilon}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 15 略解・解説}
\medskip
\rightline{2000年7月24日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

今回の配点は[1]から順に30, 40, 30点で，
平均は28.9点，最高は95点(1人)でした．
採点はTeaching Assistantの岸本君(1番)と勝良君(2番, 3番)です．
簡単な解説をつけます．

\bigskip [1]
$\R$のかわりに$\Z$にすれば授業とまったく同様に証明できます．
つまり，Fubiniにあたるのは今は，「正項級数の和を取るとき
はどのような順序で足してもよい」というあたりまえのことで，
あとは，$p=1$のときはただ和を取る順序を変えるだけでよく，
$p > 1 $のときは$\R$の時と同様にH\"olderの定理を使います．

\bigskip [2]
(1)は$L^1$で平行移動する操作が$L^1$-normで連続なことから
わかります．

(2) たとえば$f(x)=g(x)=1/\sqrt{|x|}$とでもすればよいでしょう．

\bigskip [3]
そのような$f(x)$は存在しません．仮に存在したとしましょう．
$g(x)$として，正値compact台で積分値が1のまま台が小さくなって
行くようなもの$g_n(x)$を授業のように取ります．もし，$f*g_n=g_n$とすると，
任意の正の数$r$について，$n$を十分大きく取ったとき
右辺は$(-\infty,-r)\cup(r,\infty)$で0ですから，$\|f*g_n-f\|_1\to0$
より$f(x)$も，$(-\infty,-r)\cup(r,\infty)$上ほとんどいたる
ところ0ということになります．$r > 0$は任意ですから，
$f(x)$はほとんどいたるところ0になりますが，それではおかしいことは
明らかです．

\bigskip [お詫び]
前回皆さんの答案に書いた平均点の計算に誤りがありましたが，
A--Dの成績には影響しません．また，15回目の点を考慮した平均でも，
A--Dの成績に変化はありませんでした．
15回目も計算に入れた正しい平均点は，期末テストと一緒に知らせます．

\bye