\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\nopagenumbers

\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 14}
\medskip
\rightline{2000年7月11日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip [1]
$(X, {\Cal B}, \mu)$を測度空間とし，
$1 < p < \infty$, $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$とする．
$f(x)\in L^p(X)$に対し，
$$\sup_{g(x)\in L^q(X), \|g\|_q=1}
\left| \int_X f(x)g(x)\;d\mu\right|$$
を求めよ．

\bigskip [2]
$f(x), g(x)\in L^2(\R)$とするとき，
$$\lim_{t\to\infty} \int_\R f(x)g(x+t)\;dx$$
を求めよ．

\bigskip [3]
$(X, {\Cal B}, \mu)$を$\sigma$-finiteな測度空間とする．
この時次の問いに答えよ．

(1) $L^1(X)\subset L^2(X)$となるための必要十分条件を求めよ．

(2) $L^2(X)\subset L^1(X)$となるための必要十分条件を求めよ．

\bye