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\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 13}
\medskip
\rightline{2000年7月4日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip [1]
測度空間$(X, \Cal B, \mu)$を考え，$E\in \Cal B$上の
複素数値可積分関数$f(x)$を考える．$F\subset E$, $F\in
\Cal B$となる$F$について$\Phi(F)=\dsize\int_F f(x)\;d\mu$とおく．
$E=E_1\cup E_2\cup\cdots \cup E_n$ (disjoint union)と
いう有限個の$\Cal B$の元への分割を考えたとき，
$$\sup \sum_{k=1}^n |\Phi(E_k)| = \int_E |f(x)|\;d\mu$$
であることを示せ．ただし左辺の$\sup$は，上のような
あらゆる$E$の分割についての上限である．

\bigskip [2]
$E$を$\R$のLebesgue可測部分集合とし，$0 < \mu(E) < \infty$とする．
($\mu$はLebesgue測度である．)このとき次の問いに答えよ．

(1) $f(x)=\dsize\int_\R \chi_E (x+y)\chi_E(y)\;dy$
とおくと，これは$x$の連続関数であることを示せ．

(2) 集合$\tilde E=\{x-y\mid x,y \in E\}$は$0$を内点
として含むことを示せ．

\bigskip [3]
$A, B$を$\R$のLebesgue可測部分集合とする．
$$\int_\R \mu((A+x)\cap B)\;dx =
\mu(A)\mu(B)$$を示せ．
ただしここで，$\mu$はLebesgue測度であり
$A+x=\{ y+x \mid y\in A\}$である．

\bye