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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 11}
\medskip
\rightline{2000年6月27日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
時間は午前10時から正午までの2時間です．

\bigskip
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip [1]
$\R$のLebesgue可測集合$E$で次の性質を満たすものは存在しないことを
示せ．ただし，$\mu$は$\R$上のLebesgue測度を表す．

「任意の有界開区間$(a,b)$について
$\mu((a,b)\cap E)=(b-a)/2$が成り立つ．」

\bigskip [2]
$(X, {\Cal B}_X, \mu_X)$, $(Y, {\Cal B}_Y, \mu_Y)$
をそれぞれ$\sigma$-finiteな測度空間とし，直積として
得られる測度空間を
$(X\times Y, {\Cal B}_{X\times Y}, \mu_{X\times Y})$
とする．$\mu_X,\mu_Y, \mu_{X\times Y}$を
有限加法的測度と思ってこれらから
作った$X, Y, X\times Y$上の外測度をそれぞれ
$\Gamma_X, \Gamma_Y, \Gamma_{X\times Y}$とする．
$A\subset X, B\subset Y$のとき，
$\Gamma_{X\times Y}(A\times B)=\Gamma_X(A)\Gamma_Y(B)$
であることを示せ．

\bigskip [3]
$(X, {\Cal B}_X, \mu_X)$を$\sigma$-finiteな測度空間，
$(\R, \Cal B, \mu)$をLebesgue測度空間とし，これらの
直積として得られる測度空間を
$(X\times \R, {\Cal B}_{X\times \R}, \mu_{X\times \R})$
とする．
$f(x)$は$E\in{\Cal B}_X$上の可測関数で，$f(x)\in[0,\infty)$
を満たすものとする．$X\times \R$の部分集合
$$F=\{(x,y)\mid x\in E, 0\le y < f(x)\}$$は
${\Cal B}_{X\times \R}$-可測集合であって，
$\mu_{X\times \R}(F)=\dsize\int_E f(x)\;d\mu_X$であることを
示せ．

\bye