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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 9 略解・解説}
\medskip
\rightline{2000年7月4日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

今回の配点は[1]から順に40, 30, 30点で，
平均は34.8点，最高は90点(1人)でした．
採点はTeaching Assistantの岸本君です．
簡単な解説をつけます．

\bigskip [1]
2つの完全加法族をそれぞれ$\Cal B_1$, $\Cal B_2$とします．
$\Cal B_1 \subset \Cal B_2$を示すには，Borel集合$E, F$
を取ったときに，$E\times F$が$\R^2$のBorel集合である
ことを示せば十分です．これには，$E\times \R$, $\R\times F$
がそれぞれ$\R^2$のBorel集合であることを示せばよく，それは
Borel集合の定義からわかります．

逆に$\Cal B_2 \subset \Cal B_1$であることは，$\R^2$の
開集合のbasisとして，開区間の直積が取れることから
わかります．

\bigskip [2]
$\R$上のLebesgue非可測集合$A$を取り，
$A\times\{0\}$を考えればだいじょうぶです．これは
$\R^2$では外測度0なので，Lebesgue可測です．もし
これがBorelだとすると，[1]よりBorel集合族の
直積完全加法族に入るので，Fubiniの定理より，切り口
である$A$もBorel集合，したがってLebesgue可測になって
しまって矛盾です．

\bigskip [3]
等しいというのが答えです．順番に定義をチェックして
いけばできます．

\bye