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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 9}
\medskip
\rightline{2000年6月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
時間は午前10時から正午までの2時間です．

\bigskip
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip [1]
$\Cal B$を$\R$上のBorel集合全体のなす完全加法族とする．
$\Cal B$と$\Cal B$の直積として得られる$\R\times\R$上の
完全加法族は，$\R^2$上のBorel集合全体のなす完全加法族
と等しいことを示せ．

\bigskip [2]
$\R^2$にはLebesgue可測集合だがBorel集合ではない
ものが存在することを示せ．

\bigskip [3]
$(X, {\Cal B}_X, \mu_X)$, $(Y, {\Cal B}_Y, \mu_Y)$
をそれぞれ$\sigma$-finiteな測度空間とし，
$K=E_1\times F_1 \cup E_2\times F_2 \cup \cdots\cup
E_n\times F_n$ (disjoint union), $E_j\in {\Cal B}_X$,
$F_j\in {\Cal B}_Y$の形で書ける集合全体を$\Cal F$とする．
またこの集合$K$について$m(K)=\sum_{j=1}^n \mu_X(E_j)
\mu_Y(F_j)$とおき，この$m$から$X\times Y$上の外測度$\Gamma$を
いつもの方法で作る．$\Gamma$を$\Cal F$の生成する完全加法族
${\Cal B}_{X\times Y}$に制限したものを$\mu_{X\times Y}$として，
この測度の完備化を$(X\times Y, \overline{\Cal B}_{X\times Y},
\overline\mu_{X\times Y})$とする．
(ここまで講義と同じである．)
一方$X\times Y$の$\Gamma$-可測な集合全体を$\Cal B$とし，
$\Gamma$をそこに制限したものを$\mu$と書く．
このとき$(\overline{\Cal B}_{X\times Y},
\overline\mu_{X\times Y})$と$(\Cal B, \mu)$は等しいか．
理由をつけて答えよ．


\bye