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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 8 略解・解説}
\medskip
\rightline{2000年6月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

今回の配点は[1]から順に40, 30, 30点で，
平均は31.1点，最高は95点(1人)でした．
採点はTeaching Assistantの勝良君です．
簡単な解説をつけます．

\bigskip [1]
$f(x)$がほとんどいたるとこと0に等しいときは，
$\alpha$にかかわりなく答えは0です．
それ以外のときを以下考えます．

$\alpha \ge 1$のときは
被積分関数は$\alpha f(x)$で上から抑えられて
Lebesgueの収束定理が使えます．(ここがほとんどできてませんでした．)
$\alpha < 1$のときは
Fatouのlemmaを使えばO.K.です．答えは
$$\cases
\infty,&
\text{$0 < \alpha < 1$のとき，}\\
\dsize\int_X f(x)\;d\mu,&
\text{$\alpha=1$のとき，}\\
0,&\text{$1 < \alpha < \infty$のとき，}\endcases$$
です．

\bigskip [2]
単調収束定理より与えられた式は
$$-\int_0^1 (\sum_{n=0}^\infty -x^n \log x)\;dx=
-\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 -x^n \log x\;dx$$
に等しいことがわかります．各項について部分積分すれば答えは
$-\dsize\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=-\frac{\pi^2}{6}$
です．($-\dsize\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$のままで
終わりにしてもO.K.です．)

\bigskip [3]
$x=\sqrt{t} y$と置換積分してから$t\to 0+$としてLebesgue
の収束定理を使えば$f(0)$が答えになります．

\bye