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\define\Q{\bold Q}
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\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 8}
\medskip
\rightline{2000年6月13日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip [1]
$f(x)$を測度空間$(X, \Cal B, \mu)$上の可積分関数で
$f(x)\ge 0$となるものとする．
$$\lim_{n\to\infty} \int_X n
\log\left(1+\left(\frac{f(x)}{n}\right)^\alpha\right)\;d\mu$$
を求めよ．ただし，$\alpha$は$0 < \alpha <\infty$を
満たす定数である．

\bigskip [2]
$$\int_0^1 \frac{\log x}{1-x}\;dx$$を求めよ．

\bigskip [3]
$f(x)$は$\R$上有界Lebesgue可測で，$x=0$で連続であるとする．
このとき次の極限を求めよ
$$\lim_{t\to0+} \frac{1}{\sqrt{\pi t}}
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/t}f(x)\;dx$$


\bye