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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 7 略解・解説}
\medskip
\rightline{2000年6月6日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

今回の配点は[1]から順に30, 30, 40点で，
平均は34.5点，最高は100点(1人)でした．
採点はTeaching Assistantの勝良君です．
簡単な解説をつけます．

\bigskip [1]
もちろんいろいろ答えはありますが，簡単なものとしては
次のものがあります．

まず$$h(x)=\cases
1-|x|,&
\text{$|x|\le 1$のとき，}\\
0,&\text{それ以外のとき，}\endcases$$
とおきます．ついで，$h_n(x)=n h(e^n(x-n))$として
$f(x)=\dsize\sum_{n=1}^\infty h_n(x) + e^{-x^2}$と
すればO.K.でしょう．$e^{-x^2}$を足してあるのは単に
$f(x) > 0$にするためです．

\bigskip [2]
まず積分とLebesgue測度の定義より，
$$\int_E f(x-t)\;dx=\int_{E+t} f(x)\;dx=
\int_\R \chi_{E+t}(x)f(x)\;dx$$
となっています．ただしここで
$E+t=\{x+t\mid x\in E\}$のことです．
$t\to\infty$のとき，$E$が有界なことより
各点$x$において$\chi_{E+t}(x)f(x)\to0$となっています．
$|\chi_{E+t}(x)f(x)| \le |f(x)|$で$f(x)$は可積分と
仮定しているのでLebesgueの収束定理が使えて答えが出ます．

\bigskip [3]
まず，$|x|\le1$の範囲では$f(x)$が有界，したがって可積分なので
$|x|^n f(x)$も可積分です．

次に，$|x| > 1$の範囲では$|x|^{n+2} f(x)$が有界という仮定より，
$|x|^n f(x)$が可積分になります．すると積分記号下での微分が
できる形になって，$C^\infty$級であることが示せます．

\bye