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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 7}
\medskip
\rightline{2000年5月30日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
来週6月6日は演習はなく，午前午後ともに講義です．

\bigskip
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip
下の3問とも考えている測度はLebesgue測度である．

\bigskip [1]
次のすべての条件を満たす関数$f(x)$の例をあげよ．
きちんと説明をつけること．

(1) $f(x)$は$\R$上の連続関数で常に$f(x) > 0$．

(2) すべての自然数 $n\ge 1$について$|f(x)|^n$は
$\R$上可積分．

(3) $f(x)$は有界ではない．

\bigskip [2]
$E$を$\R$の有界可測集合，$f(x)$を$\R$上の複素数値
可積分関数とする．
$$\lim_{t\to\infty}\int_E f(x-t)\;dx=0$$
であることを示せ．

\bigskip [3]
$f(x)$を$\R$上の複素数値可測関数で，すべての自然数
$n\ge0$について，$|x|^n f(x)$が有界であるものとする．
このとき$\xi\in\R$の関数
$\dsize\int_\R f(x)e^{-ix\xi}\;dx$は$C^\infty$級
であることを示せ．


\bye