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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 6}
\medskip
\rightline{2000年5月23日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

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[1] 次の極限を求めよ．
$$\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty
\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n} x^{-1/n}\;dx.$$

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[2]
自然数の集合の上に適当な測度を入れることにより，無限級数の
理論はLebesgue積分の理論の特別な場合とみなすことができる．

(1) これによって，Lebesgueの収束定理を無限級数の場合に
適用したらどのようなステートメントになるか．

(2) 上のステートメントを，Lebesgue積分の理論を使わずに
直接証明せよ．

\bigskip
[3] $(X, \Cal B, \mu)$を測度空間とし，$f(x)$をその上の
複素数値可測関数で$\dsize\int_X |f(x)|^2\;d\mu < \infty$を
満たすものとする．このとき任意の$\varepsilon >0$
に対し，$X$上の有界可測関数$g(x)$で，
$$\align
&\int_X |g(x)|^2 \;d\mu < \infty,\\
&\int_X |f(x)-g(x)|^2 \;d\mu < \varepsilon
\endalign$$
を満たすものが存在することを示せ．

\bigskip
[4]
$f(x)$を$\R$上の可積分関数で，$0\le f(x) < \infty$を
満たすものとする．次の2条件を満たす数列$\{a_n\}_n$と
$\R$上の可積分関数$g(x)$が存在することを示せ．

(a) $a_1 > a_ 2 > a_3 > \cdots \to 0$.

(b) すべての$n$について，ほとんどいたるところ
$f(x-a_n) \le g(x)$がなりたつ．

ただし考えている測度は$\R$上のLebesgue測度である．

\bye