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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 5}
\medskip
\rightline{2000年5月16日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip
以下の3問すべてで，考えている測度はLebesgue測度である．

\bigskip [1]
$\R$上の実数値連続関数$f(x)$, $g(x)$がほとんどいたるところ
値が等しいとする．このときすべての点$x$で$f(x)=g(x)$である
ことを示せ．

\bigskip [2]
次の条件を満たす$\R$上の実数値可測関数$f(x)$の例をあげよ．
きちんと説明をつけること．

空でないどの開区間$(a,b)$上で，どのような連続関数$g(x)$
を考えても，$(a,b)$上でほとんどいたるところ$f(x)=g(x)$となること
はない．

\bigskip [3]
次のすべての条件を満たす$\R$上の実数値可測関数$f(x)$の例をあげよ．
きちんと説明をつけること．

\noindent
(1) すべての$x$において$0\le f(x) < \infty$.

\noindent
(2) 空でないどの開区間$(a,b)$上で$f(x)$を積分しても値は
$\infty$である．

\bye