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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 3}
\medskip
\rightline{2000年4月25日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip [1] 
自然数全体の集合$\N$の部分集合$A$で，
「$A$または$A^c$が有限集合である」
というようなもの全体を集めて得られる$\N$上の有限加法族を$\Cal F$とする．
$\Cal F$上の完全加法的測度とは
どのようなものか．具体的に記述せよ．

\bigskip [2] 
4/18の授業のように，実数の集合$\R$の部分集合で，$\dsize A=\bigcup_{j=1}^n
(a_j,b_j]$, (disjoint union)の形のもの全体のなす
有限加法族を$\Cal F$とする．($n=0$のときは，$A=\varnothing$と
解釈し，また$b_j=\infty$のときは，
$(a_j,\infty]=(a_j,\infty)$と解釈する．)
一方，$\R$上の関数$H(x)$を
$$H(x)=\cases 1,&x \ge 0\hbox{の時，}\\
0, & x < 0\hbox{の時，}\endcases$$
とおき，有理数全体に番号を付けて$\Q=\{p_1,p_2,p_3,\dots\}$
とする．(もちろん，$n\neq m$ならば$p_n\neq p_m$とする．)
ここで$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} H(x-p_n)$$
とおいて，この増加関数$f(x)$を使って，
4/18の授業のように$\Cal F$上の
有限加法的測度$m$を定める．この$m$はどのようなものか，
具体的に記述せよ．またこの$m$が完全加法的かどうか，理由をつけて
答えよ．


\bigskip [3] 
$\Cal F$を$X$上の有限加法族，$m$をその上の有限加法的測度で，
$m(X) < \infty$であるものとする．このとき以下の2条件は同値である
ことを示せ．

(1) 
$$\left\{\aligned
&E_j\in \Cal F,\quad j=1,2,3,\dots\\
&E_1\supset E_2\supset E_3\supset \cdots\\
&\bigcap_{j=1}^\infty E_j=\varnothing
\endaligned\right.\quad\Rightarrow \quad \lim_{j\to\infty} m(E_j)=0.$$

(2) $m$は完全加法的である．

\bye