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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 2 略解・解説}
\medskip
\rightline{2000年4月25日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
5月2日(火)と，さらに6月6日(火)は演習はなしで，午前，午後ともに講義
を行います．(午前2時間，午後90分です．)そのかわり，最初に言ったように，
6月20日(火)と27日(火)は，午前2時間，午後90分すべてを演習(小テスト)に
します．

今回の配点は[1]から順に30, 40, 30点です．
採点はTeaching Assistantの岸本君です．
平均は50.3点，最高は100点(2人)でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip [1]
これは定義どおりにゆっくり考えれば問題はないでしょう.
答えは，
$$\align
&\{ \varnothing, X\},\\
&\{ \varnothing, \{1\}, \{2,3\}, X\},\\
&\{ \varnothing, \{2\}, \{1,3\}, X\},\\
&\{ \varnothing, \{3\}, \{1,2\}, X\},\\
&\{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\},
\{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, X\},
\endalign$$
の5つです．

\bigskip [2]
まず明らかに，この位相では開集合であることと
閉集合であることが同値になっています．(ここで終わりにしたの
では，「具体的にあげよ」という指示に従っているとは認められ
ません．) 連結成分を考えることにより，$\N = \bigcup_i N_i$
(disjoint union)と分解され，$\N$の開集合は，$N_i$たちのいく
つかの和で表される集合となります．
($N_i$たちの数は有限でも可算でもかまいません．)

\bigskip [3]
例はいろいろありますがたとえば，
$$m(A)=\cases
\dsize \sum_{n\in A} \frac{1}{2^n},&\text{$A$が有限集合のとき},\\
\infty,&\text{$A$が無限集合のとき},
\endcases$$
とすればよいでしょう．

\bye