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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 2}
\medskip
\rightline{2000年4月18日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip [1] 
$X=\{1,2,3\}$とする．$X$上の有限加法族$\Cal F$はどれだけ
あるか．すべてあげよ．きちんと説明もつけること．

\bigskip [2]
自然数全体の集合$\N$にある位相を入れたところ，
$\N$の開集合全体が$\N$上の有限加法族になっていたとする．
このような位相をすべて具体的にあげよ．

\bigskip [3]
自然数全体の集合$\N$の部分集合$A$で，

「$A$または$A^c$が有限集合である」

というようなもの全体を集めて得られる$\N$上の有限加法族を$\Cal F$とする．
$\Cal F$上の有限加法的測度$m$で，以下のすべての条件を満たすものの
例をあげよ．

\medskip
\noindent
(1) 空でないすべての有限集合$A$に対して，$0 < m(A) < \infty$.

\noindent
(2) どのような実数列$\{a_n\}_n$をとっても，
$$m(A)=\sum_{n\in A} a_n,\quad \forall A\in\Cal F$$
と表すことはできない．

\bye