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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 1 略解・解説}
\medskip
\rightline{2000年4月18日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
5月2日(火)は演習はなしで，午前，午後ともに講義を行います．

配点は[1]から順に$15\times 3$, $10+25$, 20点です．
採点はTeaching Assistantの勝良君です．
平均は41.9点，最高は100点(3人)でした．
簡単な解説をつけます．

あと，言い忘れましたが，毎回の試験の範囲はその前の週の授業までです．

\bigskip [1] 
答えはいずれも $t > 1 $です．$1/x^t$との比較により簡単にできます．
完全に根拠があっていて各15点，答えだけだと各5点です．

\bigskip [2] 
できなかった人はしかるべき本を見てください．(1)はいろいろな書き方が
ありますが，もちろん正しければどれでもO.K.です．
(2)の本質は$f(x)$の一様連続性(と値域の$\R$の完備性)です．

(1)を上積分，下積分を使った形で書くと「極限を含んでない」という文句が
ありましたが，その場合は「上積分と下積分が有限実数で，一致することを示せ」
ということです．問題を「Riemann積分可能であることを示せ」と書いた方がよ
かったですね．値域が無限次元の空間のときが頭にあったのでこういう書き方
になりました．すみません．

\bigskip [3] 
当然答えはたくさんありますが，簡単なものとしてはたとえば，
$x=n,2n,3n$でそれぞれ値$0,1,0$を取り，$[n,2n],[2n,3n]$では
それぞれ直線でつなぎ，$(-\infty,n)$, $(3n,\infty)$では0としたものを
$f_n(x)$とすればよいでしょう．

\bye