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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 1}
\medskip
\rightline{2000年4月11日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
自分のノートを参照してかまいませんが，本は見ないでください．

\bigskip [1] 
(1) 広義積分$\dsize\int_0^\infty \dfrac{dx}{1+x^t}$が有限な値を
持つような実数$t > 0$の範囲を求めよ．

(2) 無限級数$\dsize\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^t}$
が収束するような実数$t > 0$の範囲を求めよ．

(3) 無限級数$\dsize\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\log n}{n^t}$
が収束するような実数$t > 0$の範囲を求めよ．

いずれもきちんと根拠を示すこと．

\bigskip [2] 
$f(x)$を有界閉区間$[0,1]$上の実数値連続関数とする．

(1) Riemann積分$\dsize\int_0^1 f(x)\;dx$の定義を述べよ．

(2) 上の定義は極限を含んでいるが，その極限値の存在を証明せよ．

\bigskip [3] 
次の条件すべてを満たすような，$\R$上の連続関数の列$\{f_n(x)\}_n$の例を
一つあげよ．（その列が本当に
下記の条件を満たしていることをきちんと説明すること．）

(1) $0\le f_n(x)\le 1$.

(2) 任意の$n$に対し，広義積分$\dsize\int_\R f_n(x)\;dx$が
(有限実数として)存在する．

(3) 任意の$n$に対し，$x_n$が存在して $f_n(x_n)=1$.

(4) 任意の$x$に対し，$\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$.

(5) $\dsize\lim_{n\to\infty} \int_\R f_n(x)\;dx=\infty$.

\bye