\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\e{\varepsilon} \newsymbol\varnothing 203F \NoBlackBoxes \centerline{解析学IV 期末テスト} \medskip \rightline{1997年9月8日} \rightline{河東泰之} \bigskip $$\boxed{\hbox{問題用紙は2枚あります}}$$ \bigskip 自分のノートを参照してけっこうです. ただし,本の参照は不可です. 時間は3時間です. 問題はたくさんありますが,1問20~30点 でつける予定なので,適当に選択して解いてください. \bigskip \bigskip [1] 測度空間$(X, \Cal B, \mu)$に対し, $A\in \Cal B$が,$B\in \Cal B$, $B\subset A$, $0 < \mu(B) <\mu(A)$となるような$B$を持たない時, $A$はatomであるという. 測度空間$(X, \Cal B, \mu)$は,$\mu(X)=1$を満たし, atomを持たないとする.このとき, 任意の$\e > 0$に対し,$A\in \Cal B$で $0 < \mu(A) <\e$となるものが存在することを示せ. \bigskip [2] $\mu(X)=1$を満たす測度空間$(X, \Cal B, \mu)$上の 可測関数$f(x)$が,すべての$x\in X$で $-\infty < f(x) < \infty$を満たしているとする. 正数$\e$が, $$A\in \Cal B, \mu(A)<\e\text{ならば$f$は$A$上可積分である}$$ と言う条件を満たしているとする.このとき,$f(x)$は$X$上可積分 であることを示せ. \bigskip [3] $f_n(x), f(x)$, $(n=1,2,\dots)$, は, 測度空間$(X, \Cal B, \mu)$上の可測関数で,$X$上 $0\le f_n(x)\le f(x)\le \infty$を満たすものとする. このとき,すべての$x\in X$に対し, $\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$であれば $$\lim_{n\to\infty}\int_X f_n(x)\;dx=\int_X f(x)\;dx$$ であることを示せ. \bigskip [4] $f(x), g(x)\in L^2(\R)$としたとき, $$\lim_{t\to\infty} \int_\R f(x+t)g(x)\;dx=0$$ であることを示せ. \bigskip [5] $1 < p,q < \infty$, $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$とする. $f(x)\in L^p(\R)$のとき, $\dsize\sup_{\|g\|_q=1} \left|\int_\R f(x)g(x)\;dx\right|$を 求めよ. \bigskip [6] $f(x)$を$(0,1)$上の実数値Lebesgue可測関数とし, すべての$p\in[1,\infty)$について, $\dsize\int_0^1 |f(x)|^p\;dx < \infty$であるとする. $g(p)=\left(\dsize\int_0^1 |f(x)|^p\;dx\right)^{1/p}$とした時, $g(p)$は,$[1,\infty)$上単調増加で,連続な関数であることを示せ. \bigskip [7] $f(x), g(x)\in L^1(\R)$のとき, $$\int_\R (f*g)(x)e^{-ixt}\;dx= \int_\R f(x) e^{-ixt}\;dx \int_\R g(x) e^{-ixt}\;dx $$ であることを示せ.式変形の根拠をきちんと説明する こと.ただし,$t$は実数である. \bigskip\bigskip 解答は答案用紙に書いて下さい. 採点した答案はのちほど事務室から返却します. (河東は今イタリアにいるので,採点に少し時間がかかり ます.) \bye