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\define\e{\varepsilon}
\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 3の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1997年5月12日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [1] 
$B\subset\R$に対し，$x\in A\cap B$, $y \in A\cap B^c$とすれば，
$\Gamma(\{x\})=\Gamma(\{y\})=\Gamma(\{x,y\})=1/2$となるので，
$B$は$\Gamma$-可測ではなくなります．つまり，$B$は$\Gamma$-可測である
ためには，$A$を丸ごと
含むか，まったく$A$と交わらないかのどちらかでないと
いけません．$A^c$についても同様なので，
$\Gamma$-可測集合全体は，$\Cal F=\{\varnothing,
A, A^c, \R\}$です．

\bigskip [2] 空集合以外のすべての$A$について，
$\Gamma(A)=\infty$となるので，
$X$のすべての部分集合が$\Gamma$-可測です．

\bigskip [3] 
$A_n=A\cap ([1/n,n]\times\R)$とおくと，$A=\dsize\bigcup_{n=1}^\infty A_n$
だから，各$n$について$\mu^*(A_n)=0$を示せば，$\mu^*(A)=0$
が示せたことになります．
任意の$\e > 0$に対し，関数$1/x$が$[1/n,n]$上一様連続であることより，
区間$[1/n,n]$を細かく分割することにより，高さ$\e$の有限個の長方形で
$A_n$を覆うことができます．$\e > 0$は任意に小さく取れるので，
$\mu^*(A_n)=0$となります．
以上より$\mu^*(A)=0$です．

\bigskip [4] $A=(0,1]$とすると，$m$の定義より，
$m(A)=2$です．一方，
$A_n=(\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n}]$とすれば，
$\Gamma(A)\le1=\dsize\sum_{n=1}^\infty m(A_n)$
となっているのでこの$A$が問題の例になっています．

\bigskip
配点は各問25点です．
最高点は100点(7人)，平均点は47.8点でした．
\bye