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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 3}
\medskip
\rightline{1997年4月28日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）

\bigskip [1] 
$\R$上で，$A=[0,\infty)$とし，$\Cal F=\{\varnothing,
A, A^c, \R\}$と，$\R$上の有限加法族を定める．
この上の有限加法的測度$m$を，
$m(\varnothing)=0$, $m(A)=m(A^c)=1/2$, $m(\R)=1$で
定める．さらにこの$m$から4/21の授業のようにして
外測度$\Gamma$を作る．$\Gamma$-可測集合はどのようなものか，
具体的に決定せよ．

\bigskip [2] 
集合$X$上の有限加法族$\Cal F$を，$\Cal F=\{\varnothing, 
X\}$で定め，$\Cal F$上の有限加法的測度$m$を，
$m(\varnothing)=0$, $m(X)=\infty$で
定める．さらにこの$m$から4/21の授業のようにして
外測度$\Gamma$を作る．$\Gamma$-可測集合はどのようなものか，
具体的に決定せよ．

\bigskip [3] 
$\R^n$のLebesgue外測度を$\mu^*$で表す．
$\R^2$の部分集合，$A=\{(x，1/x)\mid x > 0\}$に対し，
$\mu^*(A)$を求めよ．

\bigskip [4] 4/21の講義のように，
実数の集合$\R$の部分集合で，$\dsize A=\bigcup_{j=1}^n
(a_j,b_j]$, (disjoint union)の形のもの全体のなす
有限加法族を$\Cal F$とする．
$\R$上の単調増加関数$f(x)$を，
$$f(x)=\cases x,&\text{$x > 0$のとき，}\\
-1,&\text{$x\le0$のとき，}\endcases$$
と定め，この$f$を使って，4/21の講義のように$\Cal F$上の
有限加法的測度$m$を定める．
さらにこの$m$から4/21の授業のようにして
外測度$\Gamma$を作る．
$\Cal F$の元$A$で，$m(A)\neq\Gamma(A)$となるものの
例を挙げよ．

\bigskip\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．

\bye