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\nopagenumbers
\def\R{{\bold R}}
\def\ep{{\varepsilon}}

\centerline{1997年度解析学IV追試}
\rightline{1997年12月16日}
\rightline{河東泰之}

%\bigskip
%$$\boxed{\hbox{問題用紙は2枚あります}}$$
\bigskip

この試験は
自筆ノート持ち込み可で行います．
（本，プリント，人のノートのコピーなどは不可です．）
時間は3時間です．
この試験は持ち込み可なので，下の[1]に正しく答えることが
単位を取るための必要条件です(が，もちろん十分条件ではありません)．
%問題はたくさんありますが，1問20〜30点
%でつける予定なので，適当に選択して解いてください．

\bigskip [1]
次の各定理のステートメントを書け．

(1) Lebesgueの収束定理

(2) 単調収束定理(Beppo Leviの定理とも言う)

(3) Fatouのlemma

\bigskip [2]
$[0,1]$上の実数値関数で，Riemann積分可能ではないが，
Lebesgue測度について可積分であるような関数の例を1つ
あげよ．その関数がこの条件を満たしていることを
きちんと説明すること．

\bigskip [3]
次のおのおのの場合について，与えられた条件を満たす関数は
存在するか．存在する場合は一つ例を挙げ，存在しない場合は
存在しないことの証明を与えよ．(例を挙げるときはきちんと説明
をつけること．)

(1) $[0,1]$上Lebesgue可測な実数値関数$f(x)$で，
$f(x)^2$は$[0,1]$上可積分だが，$f(x)$は$[0,1]$上可積分ではないもの．

(2) $\R$上Lebesgue可測な実数値関数$f(x)$で，
$f(x)^2$は$\R$上可積分だが，$f(x)$は$\R$上可積分ではないもの．

(3) $(0,1)$上連続な実数値関数$f(x)$で，$(0,1)$上Lebesgue
測度について可積分だが有界ではないもの．

(4) $\R$上連続な実数値関数$f(x)$で，$\R$上Lebesgue可積分だが，
$\dsize\lim_{x\to\infty}f(x)=0$とはならないもの．

(5) $\R$上連続な実数値関数$f(x)$で，すべての自然数$n\ge1$
について$|f(x)|^n$は$\R$上Lebesgue可積分となるが，
$\dsize\lim_{x\to\infty}f(x)=0$とはならないもの．

\bigskip [4]
$f(x)$を$\R$上の正値Lebesgue可積分関数とする．
$\dsize\lim_{n\to\infty} \int_\R f(x)^n\;dx$が(有限確定値として)
存在するための必要十分条件を求めよ．さらにそのときの，
この極限値を求めよ．

\bigskip [5]
$f(x)$を，$\R$上の実数値Lebesgue可積分関数とする．
$$\lim_{n\to\infty}\int_\R \frac{f(x)}{1+x^{2n}}\;dx$$
を求めよ．計算の根拠もきちんと示すこと．

\bigskip [6]
$f(x)$を$\R$上の実数値Lebesgue可測有界関数とし，
$|f(x)|\le C\;\;\hbox{a.e.}$となるような$C$の下限が1であると
する．$g(x)$が，$\R$上の実数値Lebesgue可積分関数で
$\dsize\int_\R |g(x)|\;dx\le1$となるもの全体を動くとき，
$\dsize\left|\int_\R f(x)g(x)\;dx\right|$の上限を求めよ．

\bye