\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} %\baselineskip 13pt \nopagenumbers \def\R{{\bold R}} \def\ep{{\varepsilon}} \centerline{1997年度解析学IV追試} \rightline{1997年12月16日} \rightline{河東泰之} %\bigskip %$$\boxed{\hbox{問題用紙は2枚あります}}$$ \bigskip この試験は 自筆ノート持ち込み可で行います. (本,プリント,人のノートのコピーなどは不可です.) 時間は3時間です. この試験は持ち込み可なので,下の[1]に正しく答えることが 単位を取るための必要条件です(が,もちろん十分条件ではありません). %問題はたくさんありますが,1問20~30点 %でつける予定なので,適当に選択して解いてください. \bigskip [1] 次の各定理のステートメントを書け. (1) Lebesgueの収束定理 (2) 単調収束定理(Beppo Leviの定理とも言う) (3) Fatouのlemma \bigskip [2] $[0,1]$上の実数値関数で,Riemann積分可能ではないが, Lebesgue測度について可積分であるような関数の例を1つ あげよ.その関数がこの条件を満たしていることを きちんと説明すること. \bigskip [3] 次のおのおのの場合について,与えられた条件を満たす関数は 存在するか.存在する場合は一つ例を挙げ,存在しない場合は 存在しないことの証明を与えよ.(例を挙げるときはきちんと説明 をつけること.) (1) $[0,1]$上Lebesgue可測な実数値関数$f(x)$で, $f(x)^2$は$[0,1]$上可積分だが,$f(x)$は$[0,1]$上可積分ではないもの. (2) $\R$上Lebesgue可測な実数値関数$f(x)$で, $f(x)^2$は$\R$上可積分だが,$f(x)$は$\R$上可積分ではないもの. (3) $(0,1)$上連続な実数値関数$f(x)$で,$(0,1)$上Lebesgue 測度について可積分だが有界ではないもの. (4) $\R$上連続な実数値関数$f(x)$で,$\R$上Lebesgue可積分だが, $\dsize\lim_{x\to\infty}f(x)=0$とはならないもの. (5) $\R$上連続な実数値関数$f(x)$で,すべての自然数$n\ge1$ について$|f(x)|^n$は$\R$上Lebesgue可積分となるが, $\dsize\lim_{x\to\infty}f(x)=0$とはならないもの. \bigskip [4] $f(x)$を$\R$上の正値Lebesgue可積分関数とする. $\dsize\lim_{n\to\infty} \int_\R f(x)^n\;dx$が(有限確定値として) 存在するための必要十分条件を求めよ.さらにそのときの, この極限値を求めよ. \bigskip [5] $f(x)$を,$\R$上の実数値Lebesgue可積分関数とする. $$\lim_{n\to\infty}\int_\R \frac{f(x)}{1+x^{2n}}\;dx$$ を求めよ.計算の根拠もきちんと示すこと. \bigskip [6] $f(x)$を$\R$上の実数値Lebesgue可測有界関数とし, $|f(x)|\le C\;\;\hbox{a.e.}$となるような$C$の下限が1であると する.$g(x)$が,$\R$上の実数値Lebesgue可積分関数で $\dsize\int_\R |g(x)|\;dx\le1$となるもの全体を動くとき, $\dsize\left|\int_\R f(x)g(x)\;dx\right|$の上限を求めよ. \bye