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\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 11の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1997年7月14日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [1] 
今有限集合で考えているので，単調増大列，減少列は必ず
ある番号以降は同じ集合になってしまいます．だから，
$\Cal F$内の単調増大列，減少列の極限は$\Cal F$自身の
元になってしまいます．つまり，$\Cal F$自身がすでに
単調族でこれが答えです．

\bigskip [2] 
(1) これは有名なもので，例えば留数計算でできます．忘れた人は
複素関数論の本を見てください．

(2) 関数$\dfrac{\sin (x^{2k})}{x^{2k+1}}$を部分積分することに
よって，極限が0であることがわかります．

(3) 極限の式を次のように3つに分けます．
$$\int_{-1}^1 \sin nx\frac{\sin (x^{2k})-x^{2k}}{x^{2k+1}}\;dx+
\int_{-1}^1 (\sin nx)\frac{x^{2k}}{x^{2k+1}}\;dx+
\int_{|x|>1} \sin nx\frac{\sin (x^{2k})}{x^{2k+1}}\;dx$$
第3項のlimitは，(2)より0です．また，第1項は，
関数$\dfrac{\sin (x^{2k})-x^{2k}}{x^{2k+1}}$を，
$[-1,1]$で考えることにより，(2)と同様に極限0を持つ
事が分かります．
第2項は置換積分で，
$\dsize\int_{-n}^n \dfrac{\sin x}{x}\;dx$となるので，(1)を使って，
結局極限は$\pi$になります．

\bigskip [3] 
いろいろな作り方がありますが，
たとえば，集合列$A_n$を，
$[0,1/2]$, $[1/2,2/2]$,
$[0,1/4]$, $[1/4,2/4]$, $[2/4, 3/4]$, $[3/4,4/4]$,
$[0,1/8]$, $[1/8,2/8]$, $[2/8, 3/8]$, $[3/8,4/8]$,
$[4/8,5/8]$, $[5/8,6/8]$, $[6/8, 7/8]$, $[7/8,8/8]$,
$\dots$として決め，$f_n(x)=\chi_{A_n}(x)$とすれば
大丈夫です．

\bigskip
最高点は90点(2人)，平均点は29.5点でした．

\bye