\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\nopagenumbers

\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\e{\varepsilon}
\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 11}
\medskip
\rightline{1997年6月30日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）

\bigskip [1] 
$X=\{1,2,3,4,5\}$とし，$\Cal F$は，
$\{\}$, $\{1\}$, $\{2,3\}$, $\{4,5\}$からなる，$X$の部分集合の
集合とする．$\Cal F$を含む最小の単調族を求めよ．

\bigskip [2] 
(1) $\dsize\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^N \frac{\sin x}{x}\;dx=\pi$
であることを示せ．

(2) $c>0$に対し，
$\dsize\lim_{n\to\infty}\int_{|x|>c} \sin nx \frac{\sin (x^{2k})}{x^{2k+1}}\;
dx$を求めよ．ただし，$k$は1以上の整数である．

(3) $\dsize\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty
\sin nx \frac{\sin (x^{2k})}{x^{2k+1}}\;dx$を求めよ．
ただし，$k$は1以上の整数である．

\bigskip [3] 
次のような，区間$[0,1]$関数列$\{f_n(x)\}_n$を構成せよ．ただし考えている
測度はLebesgue測度である．

(1) 各$f_n(x)$は区間$[0,1]$上の実数値可積分関数．

(2) $n\to\infty$の時，
$\dsize\int_0^1 |f_n(x)|\;dx\to 0$. 

(3) $\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$となるような
$x\in [0,1]$は存在しない．

\bigskip\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．

\bye